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感觉最近的教育风向又变了 |
初中数学题：已知m^2+n^2=10，求m+n的最大值。
提示：这题应该是考初中代数，但自己数学都还给体育老师了，想了半天没思路，最后只能靠几何去解决。
坛子里各位学霸，看下我这解题思路严不严谨？这样辅导小孩，会被老师扣分吗？如果用初中代数又该如何解决呢？
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附上自己解答思路：
解：由于 m^2+n^2=10，求m+n的最大值
容易得到，当（m+n）^2取最大值时，且m≥0，n≥0，m+n取最大值。
∵（m+n）^2= m^2+2mn+n^2=10+2mn
∴当mn最大时，m+n取最大值。
以线段AB为直径作圆，AB=√10，C为圆上一动点，连接AC、BC，设AC=m,BC=n，根据勾股定理m^2+n^2=10。过C点向AB做垂线，垂直相交于D点。
∵S△ABC=1/2 AC*BC=1/2 CD*AB
∴mn=√10CD
当CD最大时，mn取最大值，m+n取最大值
而C点为圆弧ACB中点时，CD最大
此时，m=n,所以m^2=5，且m≥0，n≥0，得出m=n=√5
所以，m+n最大值为2√5
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这一眼就看出来 m == n取最大啊！
口算，2倍根号5 。用三角公式换元，m=根号10sina ，n=根号10cosa。m+n=根号10*根号2*sin（a+π/4）.最大值就是根号10*根号2=2根号5
心算两分钟，2根号五。数形结合，最大值就是当斜率为-1的直线与半径为根号10的圆相切时
或者直接用 m-n 括起来的平方大于等于0来做，得到mn小于等于1/2 m的平方 + n 的平方，也很简单
(m+n)^2+(m-n)^2=20，
(m+n)^2=20-(m-n)^2≤20
m+n≤2√5
是不是这样
三角函数用正弦余弦平方和等于1做可以做，但是应该超纲了
均值不等式直接套用也属于超纲
但是均值不等式当n=2时，可以直接引导孩子推导出来，就不算超纲了
我喜欢用函数图像解题，该题可以看作是：直线与圆相交，求相交的动点到圆心最大值的问题。通过平移直线，可以得到直线与圆相切的时候，点到圆心距离最大，为圆的半径。且此时m=n
均值不等式，非要搞形象点就数形结合了，但对初中生来说有点难。
楼主想复杂了，常规解法不就是消元吗？
m^2+n^2=10
n=(10-m^2)^(1/2)
m+n=m+(10-m^2)^(1/2)
求导，另其等于0
1+1/2*(10-m^2)^(-1/2)*2m=0
(10-m^2)^(-1/2)*m=-1
m^2=10-m^2
m=5^(1/2)
代入m^2+n^2=10得n=m=5^(1/2)
故m+n最大值=2*5^(1/2)
单调性证明这里就省了
完全看不懂了，忘得一干二净
有么有数学思维，有没有知道数学发展史，有没有天分，都在这一题。
就是同长对角线下，什么矩形面积最大。当然是正方形
m+n 最大值转换为（m+n）^2最大值，楼上都只注意算，没讲清楚这个
@stargazer 同长对角线下，什么矩形周长最长。
你写错了
@Atlantis12000 你这个对初中生尊重吗，要是随便解题，这个题甚至不值一提
（m+n）^2=m^2+n^2+2nm
2nm≤m^2+n^2
（m+n）^2=m^2+n^2+2nm≤2（m^2+n^2）=20
根
@irving2016 没错，因为m^2+n^2是定值，mn最大就是（m+n)^2最大，而mn就是矩形面积
